Вронскиан

Вронскиа́н, или определитель Вронского, — функция [math]\displaystyle{ W(f_1,\dots f_n)(x) }[/math], определённая для системы функций [math]\displaystyle{ f_1(x),\ldots f_n(x) }[/math] на промежутке [math]\displaystyle{ I }[/math], дифференцируемых [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math]-раз. Задаётся как определитель следующей матрицы:

[math]\displaystyle{ W(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1(x) & f_2(x) &\cdots & f_n(x) \\ f'_1(x) & f'_2(x) & \cdots & f'_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I, }[/math].

Также вронскианом называют функцию, заданную определителем более общего вида. А именно, пусть задано n вектор-функций [math]\displaystyle{ f_1(x), \ldots , f_n(x) }[/math] с n компонентами: [math]\displaystyle{ f_i=(f_i^1, \ldots ,f_i^n) }[/math]. Тогда определитель будет выглядеть так (чтобы избежать разночтений обозначим его [math]\displaystyle{ W_2 }[/math]):

[math]\displaystyle{ W_2(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1^1(x) & f_2^1(x) &\cdots & f_n^1(x) \\ f_1^2(x) & f_2^2(x) & \cdots & f_n^2(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^n(x) & f_2^n(x) & \cdots & f_n^n(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I, }[/math].

Назван в честь польского математика Юзефа Вронского. Термин «вронскиан» предложил шотландский математик Томас Мьюр в своей монографии 1882 года об определителях.

Определитель Вронского применяется для решения дифференциальных уравнений, например для того, чтобы узнать, являются ли найденные решения однородного линейного дифференциального уравнения (либо системы уравнений) линейно независимыми. Это помогает в поиске его общего решения.

Свойства

• Если [math]\displaystyle{ f_1(x), \ldots , f_n(x) }[/math] — линейно зависимы на [math]\displaystyle{ I }[/math], то [math]\displaystyle{ \forall x\in I \quad W(x) = 0 }[/math].

• Если определитель Вронского на интервале не равен нулю хотя бы в одной точке, то функции [math]\displaystyle{ f_1(x), \ldots , f_n(x) }[/math] являются линейно независимыми (прямое следствие предыдущего свойства). Обратное вообще говоря неверно (см. пример 3), но для случая, когда функции являются решениями дифференциального уравнения будут верны более сильные следствия (см. ниже).

• Если [math]\displaystyle{ f_1(x), \ldots , f_n(x) }[/math] — решения линейного однородного дифференциального уравнения [math]\displaystyle{ n }[/math]-го порядка, то [math]\displaystyle{ W(f_1, \ldots ,f_n) }[/math] называется вронскианом этого уравнения. Определитель Вронского однородного дифференциального уравнения либо тождественно равен нулю, и это означает, что [math]\displaystyle{ f_1(x), \ldots , f_n(x) }[/math] линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке [math]\displaystyle{ I }[/math], что означает линейную независимость функций [math]\displaystyle{ f_1(x), \ldots , f_n(x) }[/math].

• [math]\displaystyle{ W'(x) = W_1(x) + W_2(x) + \cdots + W_n(x) }[/math], где [math]\displaystyle{ W_i }[/math] — определитель Вронского, в котором строка с номером i заменена строкой производных:

[math]\displaystyle{ W_i(x) = \det\begin{pmatrix} f_{11}(x) & f_{12}(x) &\cdots & f_{1n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{i1}'(x) & f_{i2}'(x) & \cdots & f_{in}'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{n1}(x) & f_{n2}(x) & \cdots & f_{nn}(x) \end{pmatrix} }[/math]

Эта формула верна для дифференцирования определителей любых квадратных матриц.

Примеры

• Убедимся, что вронскиан линейно зависимых функций [math]\displaystyle{ 1, x^2, 3+2x^2 }[/math] равен нулю:

[math]\displaystyle{ W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x^2 & 3+2x^2 \\ 0 & 2x & 4x \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 8x-8x = 0,\qquad x\in\mathbb R. }[/math]

• Проверим теперь линейную независимость функций [math]\displaystyle{ 1,x,x^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^3\\ 0 & 1 & 3x^2 \\ 0 & 0 & 6x \end{vmatrix} = 6x, \qquad x\in\mathbb R. }[/math]

Есть точки, где вронскиан отличен от нуля (в нашем случае это любая точка, кроме x=0). Поэтому на любом промежутке эти функции будут линейно независимыми.

• Приведём теперь пример, когда вронскиан всюду равен нулю, но функции всё равно линейно независимы. Зададим две функции:

[math]\displaystyle{ f_1(x)=x^2;\qquad f_2(x) = \begin{cases} -x^2, & x \lt 0, \\ x^2, & x \geqslant 0. \end{cases} }[/math]

Обе функции всюду дифференцируемы (в том числе в нуле, где производные обеих функций обращаются в ноль). Убедимся, что вронскиан всюду ноль.

[math]\displaystyle{ W(f_1,f_2)(x) = \begin{cases} \begin{vmatrix} x^2 & -x^2 \\ 2x & -2x \end{vmatrix} = 0, & \; x \lt 0, \\[15pt] \begin{vmatrix} x^2 & x^2 \\ 2x & 2x \end{vmatrix} = 0, & \; x \ge 0 \end{cases} }[/math]

Однако эти функции, очевидно, являются линейно независимыми. Видим, что равенство вронскиана нулю не влечёт за собой линейной зависимости в случае произвольного выбора функций.

См. также

• Общее решение дифференциального уравнения;
• Формула Лиувилля-Остроградского.

Литература

Романко В.К. главы 5 и 6 // Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — С. 158—164, 174-177. — (Технический университет). — 3000 экз. — ISBN 5-93208-097-3.